Die Antwort lautet: Nein, Sie müssen das nicht machen.
Gemäß § 538 Abs. 1 BGB (Bürgerliches Gesetzbuch) ist der Mieter nur verpflichtet, die Mietsache in dem Zustand zurückzugeben, in dem sie sich bei ordnungsgemäßer Nutzung befindet. Das bedeutet, dass Sie als Mieter nicht verpflichtet sind, Renovierungsarbeiten durchzuführen, die über die normale Pflege und Instandhaltung hinausgehen.
Das Streichen von Heizkörpern und das Abschleifen von Parkettböden sind Renovierungsarbeiten, die nicht zur normalen Pflege und Instandhaltung gehören. Diese Arbeiten sind vielmehr Aufgabe des Vermieters, es sei denn, Sie haben den Mangel selbst verursacht oder haben sich schriftlich dazu verpflichtet, diese Arbeiten durchzuführen.
Ein Urteil des Bundesgerichtshofs (BGH) vom 15. März 2006 (Az. VIII ZR 123/05) bestätigt dies: "Der Mieter ist nicht verpflichtet, die Mieträume vor Rückgabe zu renovieren oder zu tapezieren, wenn er sie in einem Zustand zurückgibt, der einer ordnungsgemäßen Nutzung entspricht."
Bitte beachten Sie, dass es immer ratsam ist, den Mietvertrag genau zu lesen und sich an einen Anwalt zu wenden, wenn Sie unsicher sind, was Ihre Verpflichtungen als Mieter sind.